GEOMETRİ - 2

 

Bir önceki yazıda temel ilkelerden yola çıkarak adım - adım daha karmaşık kavramlara doğru sistematik bir yaklaşımla ilerleme yöntemini ele almış ve Öklides’in çalışmalarından başlayarak geometri alanının bu konuda en güzel örneği oluşturduğunu belirtmiştim. Bu yöntemin çok yararlı olduğuna hiç kuşku yok. Ama acaba hiç sakıncası yok mu?

Hep biliriz gömleğimizin düğmelerini iliklerken, en üsttekini yanliş iliğe yerleştirip aşağıya doğru ilerlersek, ardından gelen düğmeleri de yanliş ilikleriz. Belki de buna “yanlış” değil de pek farkına varmadan yaptığımız “farklı bir varsayim” dememiz gerekiyor.

 Özellikle sosyal bilimlerde çok kullanılan “paradigma - paradigm” ve “paradigma kayması - paradigm shift“ gibi terimler var. Bu kavramlar aklıma hep şehir planı benzetmesini getiriyor: Bilmediğiniz bir şehirde, bir plana bakarak otomobil kullandığınızı düşünün. Bir caddede ilerliyorsunuz, elinizdeki plana göre sağda bir meydan, solda bir okul ve yanında park olması gerekiyor. Ama okulun yanında parkı göremiyorsunuz. Birden, farklı bir şehrin planına baktığınızı fark edip “doğru” planı açıyorsunuz, hah! Tam bir paradigma kayması ve artık hersey yerli yerinde.

 Yine geometriye dönelim, çünkü bu paradigma kaymasının da çok güzel bir örneğini geometride görüyoruz. Bir önceki bölümde postülaların “kanıtlanmasına gerek olmayacak kadar açık hükümler” olduğunu belirtmiş ve Öklides’in tenel aldığı beş postüla olduğunu yazmıştım. Şimdi beşinci postülaya daha yakından bakalım:

 

 

 

Eğer k doğrusu m ve n doğrularini kesiyor ve α ile β iç açılarını oluşturuyorsa; m ve n doğruları, bu iç açıların dik açıdan küçük olduğu tarafta kesişir.

 

 

 

 

Hem α hem β açıları dik açı ise, m ve n doğruları kesişmez, çünkü bunlar paralel doğrulardır.

İlk bakışta çok açık bir gerçeğin ifadesi olarak görülen bu postuüa, doğrularımızın, açılarımızın, şerillerimizin, kısacası tüm Öklides geometrisinin düzlemle sınırlı olması sonucunu doğuruyor! Oysa yerküre üzerinde büyük boyuttaki çalışmalar ve uzaydaki ölçümler, eğik yüzeyleri kapsayan farklı bir geometri gereksinimine yol açıyor.

Geometri ile Geolojinin yakınlığına daha önce değinmiştim. Bu nedenle Öklides geometrisine ilk itirazlar da yeryüzünün küreselliğini (daha doğrusu geoid biçimini) bilen ve uzun mesafeleri ölçerek haritalar çizmeğe, küreler yapmaya çalışanlardan geldi.

 En basitinden ekvatoru 90⁰ ile kesen meridyenler kutuplarda birleşiyor, oluşan üçgenlerin iç açıları toplamı hiç de 180⁰ olmuyordu!

 Uzay gözlemleri de düzlemsel bir geometri ile açıklanamadığını gösterdi. Bu konuda da en ünlü örnek, Albert Einstein’ın öngördüğü gibi, güneşin arkasında olan yıldızlardan gelen “paraçacıkların”, kütle çekimi etkisyile “bükülen” uzayda “eğri” bir yörünge izleyerek yeryüzünden gözlenebilmesi oldu (Sir Arthur Eddington, 1919).

 

Benzer paradigma kaymalarını birçok alanda yaşıyoruz. Çevremizde kolayca gözlemlediğimiz hızları aşınca (ışık hızına yaklaşınca) veya çok küçük boyutlara inince (atomaltı parçacıkların davranışlarını inceleyince) alışık olduğumuz fizik kurallarının geçerli olmadığını görüyoruz.

 Ana konumuz olan geometriden çok uzaklaşmadan geometrinin,

•          Her şeyin bir kuralı olduğunu;
• Basitten - zora uzanan bir yol izleyip sistematik biçimde ilerleyerek oldukça karmaşık konuları çözebileceğimizi;
• Başlangıçta yaptığımız ve bize çok açık gerçekler olarak görünene varsayımları değiştirdiğimiz zaman, önümüzde yepyeni dünyalar açıldığını gösterdiğini söyleyebiliriz.

Bence bu nedenlerle, geometri çok ilginç ve önemli.

 

GEOMETRİ - 1

 

Geometrinin şu üç özelliği bana hep olağanüstü geliyor:

•          Her şeyin –en beklenmedik şeylerin bile- bir kuralı olduğunu göstermesi;
• Çok basit ve herkes için belirgin olan kavramlardan başlayarak adım - adım çok daha karmaşık olan sorunları çözme yolunda bir örnek oluşturması.
• Başlangıçta yaptığımız basit varsayımları değiştirdiğimiz zaman, önümüzde yepyeni dünyalar açıldığını göstermesi.

Bunların ilk ikisini şimdi, üçüncüyü Geometri - 2 başlığı altında 15 gün kadar sonra ele almayı düşünüyorum.

İnsan, çevresindekileri anlamaya çalışınca her halde ilk izlenimi değişim ve düzensizlik oldu. Birdenbire karşısına çıkan vahşi hayvanlar kendini kovalıyordu; gökyüzü bir aydınlanıp bir kararıyordu; hava bir ısınıp bir soğuyordu; dallardaki ham yiyecekler olgunlaşıyor, sonra da çürüyüp dökülüyordu. Zamanla bütün bu olayların aslında bir düzeni olduğunu; hatta bu düzenin gökyüzündeki düzene benzediğini gözledi. Belki de ondan kaynaklanıyordu? Güneşin doğup batmasının, ayın gecemizi aydınlatmasının, değişen mevsimlerle havanın ısınıp soğumasının ve yıldızların kümeler oluşturup gökyüzünde ilerlemesinin bir düzeni vardı ve bu düzen yeryüzündeki birçok olayla yakından ilişkiliydi. 

Derken insanlar kendileri dışındaki doğanın düzeni yanında kendi düzenlerini kurmaya; ekip biçmeye ve bazı hayvanları evcilleştirmeye başladılar. Tarım için tarlalar düzenlemeye, ekinleri için su getirmeye uğraştılar. Sel suları çekilince tarlalarını yeniden bulmaya çalıştılar. Tarlalarının şekillerini soyutlayıp yeryüzünü ölçmeye başladılar ve bir yandan geometri (geo + metri - yer + ölçümü) bir yandan da coğrafya (geo + graphia - yeryüzü + anlatımı) gelişmeye başladı. 

Soyut şekiller, daireler, üçgenler, kareler, dikdörtgenler oluştukça bunların bazı kuralları olduğunu Babilliler, Mısırlılar, Hintliler, Çinliler gözlemişti. Ama bugün elimizde en eski yazılı kaynaklar olarak MÖ V. Yüzyılda Antik Yunandaki felsefe - bilim  insanlarının, özellikle de Miletus’lu Anaksimandros ve Samos’lu Pisagoras’ın kitapları var. Pisagoras teoremi olarak bildiğimiz dik üçgende “dik kenarlarının uzunluklarının karelerinin toplamının, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşit olması” çok ilginç bir “düzen” örneğidir. Üstelik üçgenlerin “düzeni” bu kadarla da kalmıyor. Herhangi bir üçgende köşe açılarının ortasından çizilen çizgilerin (açıortayların) aynı noktada kesiştiğini; kenarlarının orta noktalarını karşı köşeye bağlayan çizgilerin (kenarortay) aynı noktada kesiştiğini;  köşelerden karşı kenara dik olarak çizilen çizgilerin (dikme) aynı noktada kesiştiğini gözlüyoruz. Kısacası her şeyin bir kuralı var ve geometri bunu ilk kez kanıtlamış. Başlı başına bunun bile çok büyüleyici olduğunu düşünüyorum.

Bir diğer boyut da geometrinin temel kavramlardan başlayarak karmaşıklara doğru adım – adım ilerleme sistematiğinin ilk örmeğini oluşturması. “Temel kavramlardan başlayarak karmaşıklara doğru ilerleme” derken Abraham Lincoln hakkında anlatılan bir anekdot aklıma geliyor. 1800’lerin ABD’sinde henüz günümüzde üniversitelerde uygulanan hukuk eğitimi yokmuş. Bir avukatın yanında uzun süre çalışarak usta-çırak ilişkisi ile yetişip baro sınavını başararak avukat olunurmuş. Kırsal bir bölgede yaşayan ve daha önce de pek okul yüzü görmeyen 25 yaşındaki Abraham Lincoln ise avukatlık mesleğini kitaplardan öğrenmeye çalışmış. Bir ara bu mesleğin çok büyük bir sorumluluk getirdiğini düşünüp vaz geçmiş. Ama sonradan Öklides’in “Öğeler” (Elements) adlı eserini okuyunca, basit temel ilkelerden başlayıp adım – adım ilerleyerek çok karmaşık sorunları çözebileceğini görmüş ve kendine güvenmeye başlamış.

Aslında MÖ 300’lerde yaşayan Öklides yeni bir geometri teoremi filan önermemiş. “Öğeler”’de yaptığı kendisinden önce bu alanda bilinenlerin bir derlemesi, ama çok önemli bir derleme! 13 Kitaptan oluşan “Öğeler“’de TANIM, POSTÜLA (axiom), ORTAK KAVRAMLAR’a (common notion) dayanarak ve daha önce kanıtladığı TEOREMLERİ kullanan bir sistematik kurmuş.

Öklides, “Öğeler”de

·         131 Tanımla, “nokta”, “doğru”, “düzlem” gibi temel geometri terimlerini belirliyor;

·         5 Postülayla “bir noktadan herhangi bir noktaya bir doğru çizilebilir” veya “bir daire herhangi bir merkez (nokta) ve uzaklık (çap) ile tanımlanır” gibi kanıtlanmasına gerek olmayacak kadar açık hükümleri kapsıyor;

·         5 Ortak Kavramla, “aynı şeye eşit olan iki şey birbirine eşittir” veya “bütün parçalarından büyüktür” gibi geometrinin de ötesindeki doğrulara gönderme yapıyordu.

Bu tanım – postüla – ortak kavramları temel alarak, en basitlerinden başlayarak, en karmaşık geometri teoremlerine uzanan bir zincir izleyerek 450’den fazla teoremi kanıtladı.

Bu yazının ekinde iki basit örnek vererek Öklides’i anmaya çalıştım. Bu ekiteki akıl yürütme sistematiğini kolayca anlayacağınızı düşünüyorum; ama fazla “teknik” bulup incelemeseniz de olur. (Bana gelince,  Öklides’in sistematik yaklaşımı bana o kadar olağanüstü geliyor ki eklemeden duramadım.)

Geometrinin bu olağan üstü özellikleri, tarih boyunca, birçok felsefecinin ilgisini çekti. Bu felsefeciler arasında baştan beri ezoterik sistemlere yönelenler de oldu, burada övgü ile söz ettiğim sistematik yaklaşımın sınırlarına işaret edenler de. Ama bu konuları Geometrri - 2’ye  bırakmak sanırım daha doğru olacak.

Bunları düşününce büyük Atatürk’ün neden temel geomeriyi anlatan bir kitap yazdığını; çocukların hiç anlamadan ezberlediği terimlere güzel Türkçe karşılıklar önerdiğini gayet iyi anlıyorum.

EK

Önce çok basit görülen bir teoremi ele alalım:

TEOREM: m ve n doğruları ayrı ayrı k doğrusuna paralel ise, m doğrusu da n doğrusuna paraleldir.

 

 

 

 

 

 

 Öklides bu basit teoremi kanıtlamak için önce “paralel” tanımını ele alıyor.

 

 

TANIM: Paralel doğrular, aynı düzlemde olan ve her iki yönde de sonsuza kadar uzatıldığında kesişmeyen doğrulardır.

 

 

 

Ardından bir noktadan paralel çizimine ilişkin POSTÜLA’yı anıyor:

 

POSTÜLA: Eğer k bir doğru ve P, k doğrusu üzerinde olmayan bir nokta ise; P’den k’ya paralel olan bir ve yalnızca bir doğru çizilebilir.

 

Artık hedefimize ulaşabiliriz:

 

TEOREMİN KANITLANMASI: m doğrusunun n doğrusuna paralel olmadığını düşünelim. Bu durumda n ile m bir P noktasında kesismesi gerekir. Yani P noktası hem n doğrusunun, hem de m doğrusunun üzerindedir. Bu durumda P noktasından geçen ve k’ya paralel olan iki doğru çizilebilmesi gerekir ki yukarıda verilen POSTÜLA nedeniyle bu olanaksızdır. Demek ki m de n’ye paraleldir.

--------------------------------------------------------------------------------------

İkinci örneğimizde biraz daha zor, ilk bakışta “neden böyle olsun” diyeceğimiz bir teoremi, kısaca “çapı gören çevre açı dik açıdır” diye ifade edilen teoremi kanıtlayalım.

 TEOREM: Bir dairenin çapı BC doğru parçası ve ABC üçgeninin tepe noktası A, dairenin çevresi üzerinde ise BAC açısı dik açıdır.

Bu teoremi kanıtlamak için yine Öklides’in adım – adım ilerleme yöntemini izleyerek birkaç öncül teoremi görelim.

TEOREM: Ters açılar (α’lar ve β’lar) eşittir. (k ve m doğrularının oluşturduğu açıların topamı 180⁰ olduğu için.)

 

 

 

 

 

 

TEOREM: m doğrusu ile k doğrusu paralel doğrular ise, yöndeş açılar (α’lar) eşittir.

 

 

 

 

 

 

 

 

TEOREM: m doğrusu ile k doğrusu paralel doğrular ise içters açılar (α’lar) eşittir.

 

 

 

 

  Şimdi üçgene gelebiliriz.

 TEOREM: Bir üçgenin iç açıların toplamı 180⁰ dir.

Bir ABC üçgeninin tepe noktası A’dan, BC tabanına paralel bir d doğrusu çizelim. İçters açılar oluşuyor (β ve γ) ve d bir doğru olduğuna göre bu doğru üzerindeki α+β+γ=180⁰ olmalı. Bu durumda üçgenin iç açıları toplamı da 180⁰ olur.

BC çaplı daire çizelim ve çember üzerindeki bir A noktası ile ABC üçgenini oluşturalım.. A köşesini dairenin merkezi olan D noktasına bağlayalım. Dairenin yarıçapı r ise, çember üzerindeki her noktanın dairenin D merkezine uzaklığı aynı (r) olacaktır: AD=BD=CD=r olacak, ABD ile ADC üçgenleri ikizkenar üçgenler olacak ve bu ikizkenar üçgenlerin taban açıları (β ve γ) eşit olacaktır.

 

ABC üçgeninin iç açıları toplamının 180⁰ olduğunu gördük (2β+2γ=180⁰). ABC üçgeninin A köşesindeki açı (β+γ) dır. Öyleyse üçgenin iç açılarını ikiye bölüp son darbeyi indirerek β+γ=90⁰, yani “çapı gören çevre açının dik açı” olduğunu söyleyebiliriz!

Ayrıca A köşesinden daireye bir teğet (d doğrusu) çizebiliriz. Bu durumda yeni β ve γ açıları oluşacaktır. Teğetin tanımı gereği d doğrusu AD doğru parçasına dik olacağından (β+γ=90⁰) yine ABC üçgeninin tepe açısının dik açı olduğu kanıtlanacaktır.