GEOMETRİ - 2

 

Bir önceki yazıda temel ilkelerden yola çıkarak adım - adım daha karmaşık kavramlara doğru sistematik bir yaklaşımla ilerleme yöntemini ele almış ve Öklides’in çalışmalarından başlayarak geometri alanının bu konuda en güzel örneği oluşturduğunu belirtmiştim. Bu yöntemin çok yararlı olduğuna hiç kuşku yok. Ama acaba hiç sakıncası yok mu?

Hep biliriz gömleğimizin düğmelerini iliklerken, en üsttekini yanliş iliğe yerleştirip aşağıya doğru ilerlersek, ardından gelen düğmeleri de yanliş ilikleriz. Belki de buna “yanlış” değil de pek farkına varmadan yaptığımız “farklı bir varsayim” dememiz gerekiyor.

 Özellikle sosyal bilimlerde çok kullanılan “paradigma - paradigm” ve “paradigma kayması - paradigm shift“ gibi terimler var. Bu kavramlar aklıma hep şehir planı benzetmesini getiriyor: Bilmediğiniz bir şehirde, bir plana bakarak otomobil kullandığınızı düşünün. Bir caddede ilerliyorsunuz, elinizdeki plana göre sağda bir meydan, solda bir okul ve yanında park olması gerekiyor. Ama okulun yanında parkı göremiyorsunuz. Birden, farklı bir şehrin planına baktığınızı fark edip “doğru” planı açıyorsunuz, hah! Tam bir paradigma kayması ve artık hersey yerli yerinde.

 Yine geometriye dönelim, çünkü bu paradigma kaymasının da çok güzel bir örneğini geometride görüyoruz. Bir önceki bölümde postülaların “kanıtlanmasına gerek olmayacak kadar açık hükümler” olduğunu belirtmiş ve Öklides’in tenel aldığı beş postüla olduğunu yazmıştım. Şimdi beşinci postülaya daha yakından bakalım:

 

 

 

Eğer k doğrusu m ve n doğrularini kesiyor ve α ile β iç açılarını oluşturuyorsa; m ve n doğruları, bu iç açıların dik açıdan küçük olduğu tarafta kesişir.

 

 

 

 

Hem α hem β açıları dik açı ise, m ve n doğruları kesişmez, çünkü bunlar paralel doğrulardır.

İlk bakışta çok açık bir gerçeğin ifadesi olarak görülen bu postuüa, doğrularımızın, açılarımızın, şerillerimizin, kısacası tüm Öklides geometrisinin düzlemle sınırlı olması sonucunu doğuruyor! Oysa yerküre üzerinde büyük boyuttaki çalışmalar ve uzaydaki ölçümler, eğik yüzeyleri kapsayan farklı bir geometri gereksinimine yol açıyor.

Geometri ile Geolojinin yakınlığına daha önce değinmiştim. Bu nedenle Öklides geometrisine ilk itirazlar da yeryüzünün küreselliğini (daha doğrusu geoid biçimini) bilen ve uzun mesafeleri ölçerek haritalar çizmeğe, küreler yapmaya çalışanlardan geldi.

 En basitinden ekvatoru 90⁰ ile kesen meridyenler kutuplarda birleşiyor, oluşan üçgenlerin iç açıları toplamı hiç de 180⁰ olmuyordu!

 Uzay gözlemleri de düzlemsel bir geometri ile açıklanamadığını gösterdi. Bu konuda da en ünlü örnek, Albert Einstein’ın öngördüğü gibi, güneşin arkasında olan yıldızlardan gelen “paraçacıkların”, kütle çekimi etkisyile “bükülen” uzayda “eğri” bir yörünge izleyerek yeryüzünden gözlenebilmesi oldu (Sir Arthur Eddington, 1919).

 

Benzer paradigma kaymalarını birçok alanda yaşıyoruz. Çevremizde kolayca gözlemlediğimiz hızları aşınca (ışık hızına yaklaşınca) veya çok küçük boyutlara inince (atomaltı parçacıkların davranışlarını inceleyince) alışık olduğumuz fizik kurallarının geçerli olmadığını görüyoruz.

 Ana konumuz olan geometriden çok uzaklaşmadan geometrinin,

•          Her şeyin bir kuralı olduğunu;
• Basitten - zora uzanan bir yol izleyip sistematik biçimde ilerleyerek oldukça karmaşık konuları çözebileceğimizi;
• Başlangıçta yaptığımız ve bize çok açık gerçekler olarak görünene varsayımları değiştirdiğimiz zaman, önümüzde yepyeni dünyalar açıldığını gösterdiğini söyleyebiliriz.

Bence bu nedenlerle, geometri çok ilginç ve önemli.