GEOMETRİ II

Birinci bölümde doğada ve görsel sanatlarda boyut ve oran konusunda örnekler vermiştim. Boyut ve oran bir yana doğada ve doğadaki güzelliği yakalamak isteyen birçok mimari yapıtında “simetri” de önemli bir öge olarak karşımıza çıkıyor. Al Hamra sarayı bunlardan biri:

Bu sarayın yalnızca binaları değil desenleri de adeta simetri tipleri için bir ders kitabı gibi: ayna, döner veya taşıma simetri gibi temel simetri tipleri ve bunların çeşitli birleşimlerini sarayın duvarlarında bulmak olası:

Kuşkusuz geometrik desenler ve simetri bütün Orta Asya ve Orta Doğu görsel sanatlarında çok yaygın. Ülkemizde de birçok güzel Selçuklu örnekleri var. Ama benim Endülüs örneklerini vurgulamamın nedeni Batı sanatını çok etkilemesi. Sanırım Hollandalı sanatçı Escher’in yapıtlarını hepimiz tanırız. Escher Al Hamra’yı defalarca ziyaret etmiş ve yakından incelemiş bir sanatçı olarak bilinir.

Sizi aşağıdaki garip denklemlerle korkutmak istemiyorum. Ama “simetri dediğimiz olayın matematiksel temeli çokterimlilerin (polynomial) kökleri ile ilgili.

Yukarıdaki üçüncü dereceden basit bir çokterimlinin köklerinin simetrik yapısı hemen dikkatimizi çekiyor. Bir çokterimlinin cebirsel köklerinin bulunması, köklerin değişimleri (permutation) ile ilişkili.

Bu konudaki kuramı da Évariste Galois’ya (1811-1832) borçluyuz. Bu genç adamın yaşamı da çok ilginç. Napolyon sonrası karışıklıklar içindeki Fransa’da ateşli bir cumhuriyetçi olan bu genç düzgün bir matematik eğitimi alamadan ve yazdıkları ile –hepi topu toplam 60 sayfa- ünlü matematikçilerin dikkatini çekemeden yaşamış. Kısa yaşamı da bir düello ile sona ermiş. Galois ertesi sabah düelloda öleceğini tahmin etmiş ve bir gece önce çalışmalarını özetleyen bir mektup bırakmış arkadaşlarına. Bugün kendisini grup kuramının kurucusu olarak anıyoruz.

Birinci bölümde “Geometri” sözcüğünün “yer ölçümünden” kaynaklandığına değinmiştim. Şimdi günümüz bilimine çok önemli bir katkı yapan, yer konusundaki bir başka çalışmayı anmak istiyorum. Zaten Leonhard Euler’i (1707-1783) anmayan bir geometri çalışması çok eksik olurdu. 1730’larda Prusya sınırları içindeki Königsberg kentini (günümüzde Rusya’nın Kaliningrad kenti) Pregel nehri ikiye böler ve bir ada oluştururdu. Bu ada ile nehrin iki yakasını de yedi köprü birleştirirdi. İşte matematikte “Königsberg’in yedi köprüsü” olarak bilinen problem “bu yedi köprüden yalnızca birer kez geçerek kenti dolaşmak olanağı var mıdır” biçiminde tanımlandı. Euler, bunun olanaksızlığını kanıtladı ve bu problemden yola çıkarak grafik kuramını oluşturup, topolojinin ilk adımlarını attı.

Yine mimarinin güzelliklerine dönelim. Paris’teki La Grande Arche de la Fraternité anıtını pek çoğumuz gördük. Bu anıt, Paris’in ve Avrupa’nın “tak” biçimindeki birçok anıtına çağdaş bir karşılık olarak yapılmış. Diğer yandan bu anıt geometrinin 2000 yıl boyunca çözülemeyen bir gizemini de simgeliyor. Gizemin kaynağı için MÖ. 3.ve 4.Yüzyıllara gidelim. Öklid geometri konusunda çağına ulaşan bütün bilgiyi 13 ciltlik Öğeler (Στοιχεῖα, Elements) adlı yapıtında son derece sistematik biçimde derleyip düzenlemiş.

Öncelikle 5 adet aksiyom sonra 5 adet postüla ve onlara dayanan 465 adet teorem o güne kadarki tüm geometri bilgisini kapsıyor. Aksiyomlar kanıtlanmasına gerek olmayacak kadar açık tanım ve varsayımlardır. Örneğin “Bütün kendini oluşturan parçalardan büyüktür”, “Üçüncü bir nesneye eşit olan iki nesne birbirine eşittir”, “Eşit nesnelerden eşit nesneler çıkartılırsa kalanlar da eşit olur”. Postülaların da doğruluğu açıktır, ama onlar tanımlara, aksiyomlara ve diğer postülalara dayanarak kanıtlanabilir.

Yalnızca biri hariç: Beşinci postüla! Bu postülanın kanıtlanması için en ünlü matematikçiler 2000 yıl uğraşmış ama geometrinin en büyük gizemi olarak kalmıştı. Oysa “bir üçgenin iç açılarının toplamı 180⁰’dir” veya “bir noktadan bir doğruya yalnızca bir paralel çizilebilir” gibi hepimizin çok iyi “bildiği” teoremler ancak bu postüla kullanılarak kanıtlanabilir.

Geometri bu gizemli postüladan 19. yüzyılın ilk yarısında “kurtulabildi”. Aslında çözüm çok basitti: Beşinci postüla kanıtlanamazdı çünkü geometrinin ancak özel bir hali için, yalnızca gündelik yaşamdaki boyutlar ve düzlemsel bir uzay için doğruydu. Genel anlamda geometri için geçerli değildi.

1825 - 1830 dolayındaki çözümü tam olarak kime borçlu olduğumuz tartışmalı bir konu. Kaynaklar Öklid-dışı geometrinin kurucusu olarak birbirinden habersiz çalışan üç ismi anıyorlar. İkisi pek de tanınmayan Kazan Üniversitesinden bir Rus Nikolay İvanoviç Lobaçevski (Никола́й Ива́нович Лобаче́вский) (1792-1856) ile Viyana’da çalışan bir Macar János Bolyai (1803-1860). Üçüncü ise her halde de çağının en büyük ve ünlü matematikçisi Göttingen Üniversitesinden Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Bu devrimi kime borçlu olursak olalım bükülebilen bir uzay kavramı olmadan günümüzdeki uzay çalışmalarının hiçbirinin olamayacağını biliyoruz. Ne güneşin “arkasındaki” yıldızları “görebilirdik” ne de ekvatora dik gelen üçgenlerin taban açılarının 90’ar derece olmasını sağlayabilirdik.

Hepimiz üç boyutlu bir küpü iki boyutlu bir kâğıda nasıl çizeceğimizi biliriz. İki kare çizip köşelerini birleştirdiğimizi hayal ederiz. Pekiyi dört boyutlu bir küpü üç boyutlu dünyamızda nasıl gösterelim? Benzer biçimde iç içe iki küp çizip köşelerini birleştirdiğimizi hayal edelim. Aslında çok da fazla hayal etmeğe gerek yok çünkü Spekelsen Paris’te bunu yapmış!

Hadi gene gündelik dünyamıza dönelim ve “büyüme” konusuna bakalım.İlk akla gelen kristallerin düzenli büyüme şekilleri ve kar kristallerinin oluşturduğu “olağanüstü” güzellikler. Bu simetrik güzel şekiller hepimizi büyüler. Réne Descartes de bunların gizemini çözmeye çalışmış. Aşağıdaki şekiller Descartes’ın çalışmaları:

Moleküller düzeyinde gözlem ve ölçme bu şekilleri açıklıyor. Günümüzde su moleküllerinin yapısını, hidrojen bağlarını biliyoruz. Bu bağların oluşturduğu her yüzünde eşkenar üçgen olan düzgün bir dört yüzlü (tetrahedron) kar tanelerindeki güzel desenlerin temelinde yatan soyutlama.

Bana üreme-büyüme ilişkisi çok daha ilginç geliyor. Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1250) tavşanların üremesini ele aldı. Bir dişi tavşanın doğumundan itibaren iki yıl sonra ergen olup doğurmaya başladığını ve yıl yaptığı doğumlarda bir dişi yavru doğurduğunu varsayalım. Bu dişi yavrular da iki yıl içinde benzer biçimde doğurmaya başlasa dişi tavşan sayımız birinci yıl 1, ikinci yıl 2, üçüncü yıl 3, dördüncü yıl 5, beşinci yıl 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… diye artacak. Dikkat edilirse Fibonacci dizisi adı verilen bu sonsuz dizide her sayı kendinden önce gelen iki sayının toplamı.

Fibonacci sayılarını kendinden bir önce gelen Fibonacci sayısına bölünce de oran giderek biraz önce gördüğümüz j’ye yaklaşıyor. Yani “Altın Oranın” güzelliğinin kaynağı doğa!

 

Ağaçların dallanması, çiçeklerin yapraklanması gibi doğadaki birçok “artış” olayı bu diziye uygun. Örneğin dört yapraklı yonca ender bulunan bir genetik bir bozukluk. Çünkü 4 bir Fibonacci sayısı değil!

Bir de yaprakların güneş almak için sıralanışına bakalım. 360 derece 2, 3, 4 gibi tamsayılara bölünür ve farklı katlardaki yapraklar bu açılarla dizilirse üst kattaki yapraklar alt kattakilerin güneşini keserdi. Öyleyse 360 dereceyi tamsayı olmayan bir sayıya bölmeliyiz. Evet tahmin ettiniz: Yine Fibonacci. Doğada yapraklar 360/j=222,4922 derecelik açılarla diziliyor!

Şimdi de Fibonacci sayılarından yola çıkıp kusursuz bir spiral çizelim. Madem Fibonacci sayıları kendinden önce gelen iki sayının toplamı, kenar uzunluğu 1 olan bir karenin üstüne yine kenar uzunluğu 1 olan bir kare daha çizelim. Bunların kenarlarını paylaşan bir kare çizersek kenarı (1+1=2) olacak.Yanına kenarı 3 olan bir kare çizelim. Kenarı 5 olan bir kare çizelim… 

Şimdi bu karelerin köşe noktalarını birleştirerek kusursuz spiralimizi ve deniz kabukları gibi doğadaki birçok spiral "büyüme" örneğini elde edebiliriz:

Bu spiralin içine bir ikizkenar üçgen yerleştirdiğimizde birçok resimdeki “güzel” boyutu veren “altın üçgen”i elde ederiz.

Spiraldeki ögeleri büyütürsek spiralin simetriğini çizilmiş gibi görülür ve bu kez de ayçiçeği gibi çiçeklerin göbeklerindeki, çam kozalaklarındaki, enginar, karnabahar gibi gövdelerdeki veya mercan kayalıklarındaki güzel görüntüyü elde ederiz.

Doğanın oluşturduğu ve geometrinin formüle ettiği güzellikler sonsuza uzanıyor. Birinci bölümün başında da değindiğim gibi bana ilginç gelen birkaç örnekle geometri dünyasında bir gezinti yapmaya çalıştım. Başa dönersek: Doğaya bakınca önce hayret edip “nasıl oluyor da bu kadar karmaşık ve güzel yapılar oluşuyor” diyorum. Olay bana gizemli, doğaüstü, inanılmaz gibi geliyor. Oysa matematiksel tabanını kavradığımda ise “tabii böyle olmak zorunda, başka türlü olamaz ki” diyorum. Kısacası Antik çağlardan beri doğanın temel kuralları geometri ile soyutlanıp simgelenince çok daha açık bir biçimde görülüyor. Bir giz olmaktan çıkıyor ve temelleniyor.  İşte bu anlamda geometri “her şeyin bir kuralı olduğunu ilk gösteren bilim” olarak öne çıkmış. Bence bu özellik günümüzde de korunuyor.

KAYNAKLAR:

Bülent ATALAY, Matematik ve Mona Lisa, Albatros, 2006.

Jason Socrates BARDI, The Fifth Postulate, John Wiley & Sons, 2009.

Jules BOUCHER, La Symbolique Maçonique, Editions Dervy. 1943.

David FONTANA, The Secret Language of Symbol”, Pabillion Books, 1993.

Douglas R. HOFSTADTER, Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid, Basic Books Inc. 1979.

Joachim G. LEITHAUSER, Ufkun Ötesindeki Dünyalar, Doğan Kitap, 2002.

Nazif TEPEDELENLİOĞLU, Kim Korkar Matematikten, Bilim ve Sanat Yayınları, 1983.

Zeki TEZ, Matematiğin Kültürel Tarihi, Doruk Yayımcılık, 2008.

Yavuz UNAT, Tarih Boyunca Türklerde Gökbilim, Kaynak Yayınları, 2008.

David WELLS, Matematiğin Gizli Dünyası, Doruk Yayımcılık.

GEOMETRİ I

Doğadaki düzene ve güzelliğe ilk bakışta “bu nasıl oluyor?” diye hayrete düşüyoruz.

Bilimle bu düzeni inceliyor ve anlıyoruz. Gauss’un nitelemesi ile “bilimlerin kraliçesi” matematik ve onun görsel dalı geometri bu düzeni soyutluyor, temellendiriyor.

Böylece ilk bakışta hayret ettiğimiz düzeni anlıyor, nedenlerini kavrıyor ve “başka türlü olamaz ki!” diyoruz. Doğada her şeyin bir kuralı-yasası var ve tarihsel gelişim içinde geometri bu düzenin ilk ipuçlarını vermiş. Konu o denli geniş ve büyüleyici ki sanırım gökyüzünden çiçeklere uzanan bu gezintiyi iki bölümde ele almam gerekecek.

İnsanoğlu kendine gelip çevresindekileri anlamaya çalışınca her halde ilk gördüğü değişim ve düzensizlik oldu. Birdenbire karşısına çıkan vahşi hayvanlar kendini kovalıyordu; gökyüzü bir aydınlanıp bir kararıyordu; hava bir ısınıp bir soğuyordu; dallarda yiyecekler hamken olgunlaşıyor, sonra da çürüyüp dökülüyordu. İşte bu kargaşa içinde gökyüzü ve yıldızların düzeni dikkatini çekti. Yıldızlar kümeler oluşturup düzenli biçimde gökyüzünde ilerliyordu. Zamanla bu düzenin dünyadaki düzenle bir ilişkisi olduğunu anladı. Gece ve gündüzün, mevsimlerin bir düzeni vardı. En ünlü biçimde Aristoteles ardından Ptolemeaus tarafından bu düzen formüle edildi: Gökyüzü kristal küreler oluşturmuş dünyanın çevresinde dönüyordu!

Derken insanoğlu da doğanın düzeni yanında kendi düzeninin kurmaya başladı. Tarım için tarlalar oluşturmaya, ekinleri için su getirmeye çalıştı. Bu nedenle de tarlalarının şekillerini soyutladı ve yeryüzünü ölçmeye başladı: geo-metri yer ölçümü. Soyut şekiller, üçgenler, kareler, dikdörtgenler oluştukça bunların bazı kuralları olduğunu gözledi. Örneğin

dik üçgende “dik kenarlarının uzunluklarının karelerinin toplamının, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşit” olduğuna şaştı (Pisagor teoremi) [1]. Bu arada Pisagor teoreminin, Pisagor’u çok üzen bir yönü olduğuna da değinmeliyim: Dik kenarlarının uzunluğu çok güzel bir tamsayı “1” olan dik üçgenin hipotenüsü Ö2 (1,414231 ….) gibi sonsuz uzanan bir sayıdır. Rasonel olmayan sayıları hiç sevmeyen Pisagor öğrencilerine 1, 1,  Ö2 üçgenini bir sır olarak saklamalarını söyler.

Sayılara kutsal bir önem veren Pisagor 3, 4 ve 5 tamsayılarının 3²+4²=5² özelliğine hayran oldu. Böylece bu güzel ilişkiye sahip 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10 … gibi üçlü tamsayılar “Pisagor üçlüleri” olarak tanımlandı. Pisagor üçlülerini inceleyen matematikçilerin aklına bir soru gelir: Acaba a³+b³=c³ veya daha genel olarak aⁿ+bⁿ=cⁿ ilişkisini sağlayan 2’den büyük n’ler var mı? Bu problem Fermat’nın son problemi olarak bilinen problemdir.  Ünlü matematikçi Pierre de Fermat (1601-1665) bu soruyu ele alan 3. yüzyılda yazılmış Diopantus’un Arithmetica’sını okurken kitabın kenarına bir not düşer: “Böyle tam sayılar bulanamayacağının çok güzel bir kanıtını buldum. Ama bu sayfa kenarında bunu yazacak yeterli yer yok” [2] Fermat’nın bıraktığı kitap ve belgelerde bu kanıt bulunamadı. Fermat’ın bu problemini çözüp çözmediğini, gerçekten doğru ve güzel bir çözüm bulup bulamadığını bilmiyoruz. Ama bu problem matematikçileri yüzlerce yıl uğraştırdı ve hiç de kolay anlaşılabilir biçimde değilse de 358 yıl sonra kanıtlandı[3]. Üstelik bu büyük deha “amatör” bir matematikçiydi. Buluşlarını ciddi makale ve kitaplarla belgelemezdi. Küçük notlar yazar, buluşlarını arkadaşlarına yazdığı mektuplarda anlatırdı. Günümüzde analitik geometrinin kurucusu olarak Descartes, diferansiyel matematiğin kurucusu olarak Newton’u biliyoruz. Fermat’nın yaptıklarını tam olarak bilseydik belki de bu görüşlerimiz değişirdi.

Yalnızca dik açılı bir üçgen değil herhangi bir üçgende de ilginç kurallar gizli. Örneğin bir üçgenin iç açılarını ortalayan ve karşı kenara uzanan doğrular (açıortaylar) çizelim. Bu üç açıortayın aynı noktada kesiştiğini görürüz. Benzer biçimde üçgenin kenarlarını ortalayan noktaları karşıdaki köşelerle birleştirelim (kenarortay) Bu üç kenarortay da bir noktada kesişecektir. Şimdi de köşelerden karşıki kenarlara dikmeler indirelim bu çizgiler de bir noktada. Hatta kenarların orta noktaları ve dikmelerin kenarlarla buluştuğu noktalar aynı daire üzerinde yer alacaktır.

Bir başka geometrik şekil, daire de bir dizi kuralı barındırıyor. Her şey bir yana çevrenin çapa oranı, Pisagor’a inat, bir diğer irrasyonel sayıyı, p’yi, (3,14159…) veriyor. Burada Tevrat’tan bir alıntı yapalım:

… Kral Süleyman Sur’dan dul kadının oğlu tunç ustası Hiram’ı getirir, Boaz ve Yakin direklerini yapar. Üzerlerine nar ve zambak motifleri işler…

“Ve dökme denizi bir kenardan öbür kenara 10 arşın olarak değirmi biçimde yaptı; ve yüksekliği 5 arşındı; ve 30 arşınlık bir ip onun çevresini sarardı.”

[11-1Krallar, Bap 7, Ayet 23 ].

Demek ki p=3imiş!

Aristoteles’in yeryüzü çevresinde dönen gökyüzü küreleri çok iyi bir açıklamaydı. Ama gözlemler arttıkça düzenin kaynağı olan gökyüzünde bazı düzensizlikler gözlenmeye başlandı. En önemli gök cismi, güneş ve -sonradan gezegen olarak adlandırılan- bazı parlak gök cisimleri bu düzene tam olarak uymuyordu! Doğuş-batış yerleri, zamanları, gökyüzünde çizdikleri yol ve kalış süreleri değişiyordu. Hatta gezegenler bazen ters yönde bile ilerliyordu. Güneş yeryüzünün çevresinde düzgün bir daire çizseydi mevsimlerin eşit uzunlukta, gündönümü tarihlerinin eşit aralıkta olması gerekirdi.

Gezegenlerin yeryüzü çevresindeki daire üzerine bindirilmiş küçük daireler üzerinde yol aldıkları düşünülmeye başlandı. Ayrıca dünya güneşin çizdiği dairenin merkezinde değilse mevsimlerin uzunlukları farklı olabilirdi. Binyıllar boyu evrenin merkezinde olmadığımızı bir türlü kabul etmedik. Zaten kutsal kitaplarımız da her şeyin bizim için yaratıldığını dünyanın da sabit olduğunu söylüyordu:

Eski Anlaşma [Mezmur 93:1]:

“Dünya sağlam kurulmuş ve sabit”

Kuşkusuz bütün bu karmaşık sorunlar, güneşi yeryüzünün ve diğer gezegenlerin çizdiği elipsin merkezine yerleştirince ortadan kalktı. Matematiksel olarak güzel ve kolay bir çözüm; ama insanlara evrenin merkezinde olmadıkları acı gerçeğini kabul ettirmek oldukça yıpratıcı oldu.

Soyutlama yeteneğinin yanında ölçmenin önemini hep vurgulamaya çalıştım. Hadi -sonu iyi de bitse- tarihin en büyük ölçme hatalarından birine değineyim: Kolomb’un serüveni. 15. Yüzyılda yeryüzünün küreselliği kabul edilse de boyutu konusunda anlaşmazlık vardı. Çap yüzyıllar önce büyük bir doğrulukla ölçülmüştü (Erastosthenes, MÖ. 240). Ama karşıt görüşler de vardı. Denizciliğin gelişimi ile Atlas Okyanusunda ilerleyen gemiciler enlemi ölçebiliyor ama boylam ölçümünde zorlanıyorlardı. 

Enlemin belirlenmesi kolaydı. Örneğin gölgenin en kısa olduğu noktada güneşin ufukla yaptığı açı enlemi ölçmek için kullanılabiliyordu. Yani konu bir açı ölçümüne dönüşüyordu. Oysa boylamı ölçmek çok daha zordu. Dünya kendi ekseni çevresinde döndüğüne göre, zaman ölçme sorunu ortaya çıkıyordu. Dalgalar üzerinde sallanan bir gemide sarkaçlı saatler çalışmıyor; haftalar süren deniz yolculuklarında zaman ölçmede biriken hata inanılmaz boyutlara çıkıyordu. Bu sorunun boyutunu anlamak için Kristof Kolomb’un yolculuğuna bakabiliriz. Amerika kıtasını bilmediği gibi yeryüzünün çevresini çok daha küçük bekliyordu (40 000 km yerine 30 200 km)[4]. 

Ama benim vurgulamak istediğim kayıtlara göre boylam ölçümünde 2,5 saate varan bir hata yaptığı. Bu hatanın Afyon ile Londra arasındaki boylam farkı kadar olduğunu belirteyim. Yeterli doğrulukta bir saat yapımı için 1759’a, John Harrison saatine kadar bekleyeceğiz. Görüyoruz ki geometri enlem sorununu çözdü; ama boylam konusundaki teknolojik ölçme sorunu ancak yüzlerce yıl sonra çözülebildi.

Burada bir parantez açıp büyük bir yaramıza değinmek istiyorum. Avrupa bilimi Kopernik’ten Newton’a yaklaşık 150 yıl içinde dünya ve diğer gezegenlerin oluşturduğu bilmeceyi çözdü ve 18. Yüzyıla bu bilinçle girdi. Bu çözümün sancısız olduğunu söylemiyorum. Engizisyon baskısı Bruno’nun yakılması veya Galileo’nun mahkûm edilmesi çok derin izler bıraktı kuşkusuz. Ama yine de süreç tamamlandı.

Ne yazık ki İslam coğrafyasında bunun gerçekleşmediğini görüyoruz. 12. Yüzyılda Fahrettin Razi “Geometri öğrenmek farzdır” diyor; 9. Yüzyılda El-Harezmî, 14. Yüzyılda İbn-i Haldun matematik üzerine önemli yapıtlar veriyor; 15. Yüzyılda Uluğ Bey Semerkant Gözlemevinde gökyüzünü gözlüyor. Ama 15. Yüzyılın sonundan başlayarak bütün İslam âleminin –ve onun önderi olan Osmanlı’nın- giderek karanlığa gömüldüğünü izliyoruz. Taküyiddin’in gözlemevi bir yıl içinde yıkılıyor. 17. Yüzyılda İmam-ı Ahmed Rabbani “Geometrinin ne dünya saadetine ne ebedî kurtuluşa faydası yoktur” diyor. Genellikle günümüz mühendislik eğitimimizin temellerini 18. Yüzyıl sonlarındaki Mühendishane-i Berri Hümayun, Mühendishane-i Bahri Hümayun gibi Osmanlı okullarına dayandırırız. 1824’te Mühendishane-i Bahri Hümayun başhocası Seyyid Ali Paşa “…güneş dünya çevresinde döner” diyordu. Kopernik’in haklı olduğunu yazan ilk Osmanlı sanırım 1848’de Bakü’lü Kudsî. Her halde okullara okutulmak üzere Batlamyus’u basan son devlet Osmanlı (1901).

Neyse bu konuya bir başka yazıda dönmek üzere üzücü parantezi kapatıp güzellikler dünyasına geri dönelim. Bir doğruyu bir küçük ve bir büyük parça olmak üzere ikiye bölelim. Öyle ki büyük parçanın uzunluğunun küçük parçanın uzunluğunun oranı, bütün doğrunun uzunluğunun büyük parçanın uzunluğuna oranına eşit olsun:

“Altın oran” olarak bilinen yine rasyonel olmayan bir irrasyonel sayı olan bu oran (1,61803…) “j” harfi ile gösterilir. Bu simgenin de kaynağı Atina’da Partenon’un mimarı “Fidias - jειδίας”. Bütün görsel sanatlar tarihi bu oranın uygulamalarıyla dolu. Leonardo’dan Salvador Dali’ye binlerce örnek verilebilir.

Leonardo ünlü Vitruvius [6] adamını çizerken doğadaki güzel oranları bulmaya çalışıyordu. 

Yalnızca bedenin çeşitli oranlarını değil kare ile daire arasındaki ilişkiyi de inceliyordu: 

Çünkü kare ile daire arasındaki ilişki Panthenon gibi mabetlerde kubbe ile taban arasındaki ilişkiye yansımalıydı. Leonardo’nun çağdaşı Palladio’nun Venedik’teki kilisesinde bu “güze oran” arayışını görüyoruz.

Geometrinin mimaride yalnızca güzel oranlar oluşturduğunu sanmayalım. Birçok mimari stilin de kaynağını geometride buluyoruz. Örneğin 6 - 10. Yüzyıl dönemindeki Romanesk mimari örneklerinde yarım daire biçimli pervazlar (casing), üzerindeki ağırlığın büyük kısmını yan duvara aktarıyordu. Bu da duvarları kalın ve az pencereli; iç mekânları karanlık yapıyordu.

Oysa pervazlar biraz sivriltilip tonoz tipi yapılınca ağırlığın büyük kısmı aşağıya doğru iletildi. Hatta payandalarla da ince duvarları, büyük pencereleri desteklendi. Böylece 11 - 12. Yüzyıllarda yüksek, büyük, aydınlık, pencereleri vitraylı Gotik katedraller çağı başladı.

Geometrinin bu ilginç öyküsünü GEOMETRI II'de sürdüreceğim.

........................................................

[1] Aslında dik üçgenin bu özelliğini Pisagor’dan (MÖ. 570-495) çok önce Çinliler, Mısırlılar, Babilliler, Hintliler biliyordu. Babil için Plinton tableti (M.Ö. 1800-1650); Çin metni Zhou bi suan jing (M.Ö. 100), Hint Baudhayana Sulbasutrası (M.Ö. 800) [Bilim ve Gelecek Dergisi, Eylül 2006]

[2 ]“Cujjus rel demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marjinis exquitas nın caparet.”

[3] Andrew Wiles ve Richard Taylor’un iki makalesi “Annals of Mathematics”, Mayıs 1995.

[4[ Amerika kıtası olmasaydı belki de Kristof  Kolomb okyanusta kaybolan bir denizci olarak unutulup gidecekti!

[5] Kolomb’un daha iyi ölçmeler yaptığını: ama rakiplerine bilgi vermemek için gemi kayıtlarına yanlış şeyler yazdığını savunanlar da var. Ama yadsınamaz gerçek ölünceye kadar yeni bir kıta bulduğunu anlayamadığı.

[6] 2. Yüzyıl da yaşamış oranlar konusunda tutkulu Romalı yazar, mimar, mühendis Marcus Vitruvius Pollio.