GEOMETRİ II

Birinci bölümde doğada ve görsel sanatlarda boyut ve oran konusunda örnekler vermiştim. Boyut ve oran bir yana doğada ve doğadaki güzelliği yakalamak isteyen birçok mimari yapıtında “simetri” de önemli bir öge olarak karşımıza çıkıyor. Al Hamra sarayı bunlardan biri:

Bu sarayın yalnızca binaları değil desenleri de adeta simetri tipleri için bir ders kitabı gibi: ayna, döner veya taşıma simetri gibi temel simetri tipleri ve bunların çeşitli birleşimlerini sarayın duvarlarında bulmak olası:

Kuşkusuz geometrik desenler ve simetri bütün Orta Asya ve Orta Doğu görsel sanatlarında çok yaygın. Ülkemizde de birçok güzel Selçuklu örnekleri var. Ama benim Endülüs örneklerini vurgulamamın nedeni Batı sanatını çok etkilemesi. Sanırım Hollandalı sanatçı Escher’in yapıtlarını hepimiz tanırız. Escher Al Hamra’yı defalarca ziyaret etmiş ve yakından incelemiş bir sanatçı olarak bilinir.

Sizi aşağıdaki garip denklemlerle korkutmak istemiyorum. Ama “simetri dediğimiz olayın matematiksel temeli çokterimlilerin (polynomial) kökleri ile ilgili.

Yukarıdaki üçüncü dereceden basit bir çokterimlinin köklerinin simetrik yapısı hemen dikkatimizi çekiyor. Bir çokterimlinin cebirsel köklerinin bulunması, köklerin değişimleri (permutation) ile ilişkili.

Bu konudaki kuramı da Évariste Galois’ya (1811-1832) borçluyuz. Bu genç adamın yaşamı da çok ilginç. Napolyon sonrası karışıklıklar içindeki Fransa’da ateşli bir cumhuriyetçi olan bu genç düzgün bir matematik eğitimi alamadan ve yazdıkları ile –hepi topu toplam 60 sayfa- ünlü matematikçilerin dikkatini çekemeden yaşamış. Kısa yaşamı da bir düello ile sona ermiş. Galois ertesi sabah düelloda öleceğini tahmin etmiş ve bir gece önce çalışmalarını özetleyen bir mektup bırakmış arkadaşlarına. Bugün kendisini grup kuramının kurucusu olarak anıyoruz.

Birinci bölümde “Geometri” sözcüğünün “yer ölçümünden” kaynaklandığına değinmiştim. Şimdi günümüz bilimine çok önemli bir katkı yapan, yer konusundaki bir başka çalışmayı anmak istiyorum. Zaten Leonhard Euler’i (1707-1783) anmayan bir geometri çalışması çok eksik olurdu. 1730’larda Prusya sınırları içindeki Königsberg kentini (günümüzde Rusya’nın Kaliningrad kenti) Pregel nehri ikiye böler ve bir ada oluştururdu. Bu ada ile nehrin iki yakasını de yedi köprü birleştirirdi. İşte matematikte “Königsberg’in yedi köprüsü” olarak bilinen problem “bu yedi köprüden yalnızca birer kez geçerek kenti dolaşmak olanağı var mıdır” biçiminde tanımlandı. Euler, bunun olanaksızlığını kanıtladı ve bu problemden yola çıkarak grafik kuramını oluşturup, topolojinin ilk adımlarını attı.

Yine mimarinin güzelliklerine dönelim. Paris’teki La Grande Arche de la Fraternité anıtını pek çoğumuz gördük. Bu anıt, Paris’in ve Avrupa’nın “tak” biçimindeki birçok anıtına çağdaş bir karşılık olarak yapılmış. Diğer yandan bu anıt geometrinin 2000 yıl boyunca çözülemeyen bir gizemini de simgeliyor. Gizemin kaynağı için MÖ. 3.ve 4.Yüzyıllara gidelim. Öklid geometri konusunda çağına ulaşan bütün bilgiyi 13 ciltlik Öğeler (Στοιχεῖα, Elements) adlı yapıtında son derece sistematik biçimde derleyip düzenlemiş.

Öncelikle 5 adet aksiyom sonra 5 adet postüla ve onlara dayanan 465 adet teorem o güne kadarki tüm geometri bilgisini kapsıyor. Aksiyomlar kanıtlanmasına gerek olmayacak kadar açık tanım ve varsayımlardır. Örneğin “Bütün kendini oluşturan parçalardan büyüktür”, “Üçüncü bir nesneye eşit olan iki nesne birbirine eşittir”, “Eşit nesnelerden eşit nesneler çıkartılırsa kalanlar da eşit olur”. Postülaların da doğruluğu açıktır, ama onlar tanımlara, aksiyomlara ve diğer postülalara dayanarak kanıtlanabilir.

Yalnızca biri hariç: Beşinci postüla! Bu postülanın kanıtlanması için en ünlü matematikçiler 2000 yıl uğraşmış ama geometrinin en büyük gizemi olarak kalmıştı. Oysa “bir üçgenin iç açılarının toplamı 180⁰’dir” veya “bir noktadan bir doğruya yalnızca bir paralel çizilebilir” gibi hepimizin çok iyi “bildiği” teoremler ancak bu postüla kullanılarak kanıtlanabilir.

Geometri bu gizemli postüladan 19. yüzyılın ilk yarısında “kurtulabildi”. Aslında çözüm çok basitti: Beşinci postüla kanıtlanamazdı çünkü geometrinin ancak özel bir hali için, yalnızca gündelik yaşamdaki boyutlar ve düzlemsel bir uzay için doğruydu. Genel anlamda geometri için geçerli değildi.

1825 - 1830 dolayındaki çözümü tam olarak kime borçlu olduğumuz tartışmalı bir konu. Kaynaklar Öklid-dışı geometrinin kurucusu olarak birbirinden habersiz çalışan üç ismi anıyorlar. İkisi pek de tanınmayan Kazan Üniversitesinden bir Rus Nikolay İvanoviç Lobaçevski (Никола́й Ива́нович Лобаче́вский) (1792-1856) ile Viyana’da çalışan bir Macar János Bolyai (1803-1860). Üçüncü ise her halde de çağının en büyük ve ünlü matematikçisi Göttingen Üniversitesinden Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Bu devrimi kime borçlu olursak olalım bükülebilen bir uzay kavramı olmadan günümüzdeki uzay çalışmalarının hiçbirinin olamayacağını biliyoruz. Ne güneşin “arkasındaki” yıldızları “görebilirdik” ne de ekvatora dik gelen üçgenlerin taban açılarının 90’ar derece olmasını sağlayabilirdik.

Hepimiz üç boyutlu bir küpü iki boyutlu bir kâğıda nasıl çizeceğimizi biliriz. İki kare çizip köşelerini birleştirdiğimizi hayal ederiz. Pekiyi dört boyutlu bir küpü üç boyutlu dünyamızda nasıl gösterelim? Benzer biçimde iç içe iki küp çizip köşelerini birleştirdiğimizi hayal edelim. Aslında çok da fazla hayal etmeğe gerek yok çünkü Spekelsen Paris’te bunu yapmış!

Hadi gene gündelik dünyamıza dönelim ve “büyüme” konusuna bakalım.İlk akla gelen kristallerin düzenli büyüme şekilleri ve kar kristallerinin oluşturduğu “olağanüstü” güzellikler. Bu simetrik güzel şekiller hepimizi büyüler. Réne Descartes de bunların gizemini çözmeye çalışmış. Aşağıdaki şekiller Descartes’ın çalışmaları:

Moleküller düzeyinde gözlem ve ölçme bu şekilleri açıklıyor. Günümüzde su moleküllerinin yapısını, hidrojen bağlarını biliyoruz. Bu bağların oluşturduğu her yüzünde eşkenar üçgen olan düzgün bir dört yüzlü (tetrahedron) kar tanelerindeki güzel desenlerin temelinde yatan soyutlama.

Bana üreme-büyüme ilişkisi çok daha ilginç geliyor. Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1250) tavşanların üremesini ele aldı. Bir dişi tavşanın doğumundan itibaren iki yıl sonra ergen olup doğurmaya başladığını ve yıl yaptığı doğumlarda bir dişi yavru doğurduğunu varsayalım. Bu dişi yavrular da iki yıl içinde benzer biçimde doğurmaya başlasa dişi tavşan sayımız birinci yıl 1, ikinci yıl 2, üçüncü yıl 3, dördüncü yıl 5, beşinci yıl 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… diye artacak. Dikkat edilirse Fibonacci dizisi adı verilen bu sonsuz dizide her sayı kendinden önce gelen iki sayının toplamı.

Fibonacci sayılarını kendinden bir önce gelen Fibonacci sayısına bölünce de oran giderek biraz önce gördüğümüz j’ye yaklaşıyor. Yani “Altın Oranın” güzelliğinin kaynağı doğa!

 

Ağaçların dallanması, çiçeklerin yapraklanması gibi doğadaki birçok “artış” olayı bu diziye uygun. Örneğin dört yapraklı yonca ender bulunan bir genetik bir bozukluk. Çünkü 4 bir Fibonacci sayısı değil!

Bir de yaprakların güneş almak için sıralanışına bakalım. 360 derece 2, 3, 4 gibi tamsayılara bölünür ve farklı katlardaki yapraklar bu açılarla dizilirse üst kattaki yapraklar alt kattakilerin güneşini keserdi. Öyleyse 360 dereceyi tamsayı olmayan bir sayıya bölmeliyiz. Evet tahmin ettiniz: Yine Fibonacci. Doğada yapraklar 360/j=222,4922 derecelik açılarla diziliyor!

Şimdi de Fibonacci sayılarından yola çıkıp kusursuz bir spiral çizelim. Madem Fibonacci sayıları kendinden önce gelen iki sayının toplamı, kenar uzunluğu 1 olan bir karenin üstüne yine kenar uzunluğu 1 olan bir kare daha çizelim. Bunların kenarlarını paylaşan bir kare çizersek kenarı (1+1=2) olacak.Yanına kenarı 3 olan bir kare çizelim. Kenarı 5 olan bir kare çizelim… 

Şimdi bu karelerin köşe noktalarını birleştirerek kusursuz spiralimizi ve deniz kabukları gibi doğadaki birçok spiral "büyüme" örneğini elde edebiliriz:

Bu spiralin içine bir ikizkenar üçgen yerleştirdiğimizde birçok resimdeki “güzel” boyutu veren “altın üçgen”i elde ederiz.

Spiraldeki ögeleri büyütürsek spiralin simetriğini çizilmiş gibi görülür ve bu kez de ayçiçeği gibi çiçeklerin göbeklerindeki, çam kozalaklarındaki, enginar, karnabahar gibi gövdelerdeki veya mercan kayalıklarındaki güzel görüntüyü elde ederiz.

Doğanın oluşturduğu ve geometrinin formüle ettiği güzellikler sonsuza uzanıyor. Birinci bölümün başında da değindiğim gibi bana ilginç gelen birkaç örnekle geometri dünyasında bir gezinti yapmaya çalıştım. Başa dönersek: Doğaya bakınca önce hayret edip “nasıl oluyor da bu kadar karmaşık ve güzel yapılar oluşuyor” diyorum. Olay bana gizemli, doğaüstü, inanılmaz gibi geliyor. Oysa matematiksel tabanını kavradığımda ise “tabii böyle olmak zorunda, başka türlü olamaz ki” diyorum. Kısacası Antik çağlardan beri doğanın temel kuralları geometri ile soyutlanıp simgelenince çok daha açık bir biçimde görülüyor. Bir giz olmaktan çıkıyor ve temelleniyor.  İşte bu anlamda geometri “her şeyin bir kuralı olduğunu ilk gösteren bilim” olarak öne çıkmış. Bence bu özellik günümüzde de korunuyor.

KAYNAKLAR:

Bülent ATALAY, Matematik ve Mona Lisa, Albatros, 2006.

Jason Socrates BARDI, The Fifth Postulate, John Wiley & Sons, 2009.

Jules BOUCHER, La Symbolique Maçonique, Editions Dervy. 1943.

David FONTANA, The Secret Language of Symbol”, Pabillion Books, 1993.

Douglas R. HOFSTADTER, Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid, Basic Books Inc. 1979.

Joachim G. LEITHAUSER, Ufkun Ötesindeki Dünyalar, Doğan Kitap, 2002.

Nazif TEPEDELENLİOĞLU, Kim Korkar Matematikten, Bilim ve Sanat Yayınları, 1983.

Zeki TEZ, Matematiğin Kültürel Tarihi, Doruk Yayımcılık, 2008.

Yavuz UNAT, Tarih Boyunca Türklerde Gökbilim, Kaynak Yayınları, 2008.

David WELLS, Matematiğin Gizli Dünyası, Doruk Yayımcılık.