GEOMETRİ I

Doğadaki düzene ve güzelliğe ilk bakışta “bu nasıl oluyor?” diye hayrete düşüyoruz.

Bilimle bu düzeni inceliyor ve anlıyoruz. Gauss’un nitelemesi ile “bilimlerin kraliçesi” matematik ve onun görsel dalı geometri bu düzeni soyutluyor, temellendiriyor.

Böylece ilk bakışta hayret ettiğimiz düzeni anlıyor, nedenlerini kavrıyor ve “başka türlü olamaz ki!” diyoruz. Doğada her şeyin bir kuralı-yasası var ve tarihsel gelişim içinde geometri bu düzenin ilk ipuçlarını vermiş. Konu o denli geniş ve büyüleyici ki sanırım gökyüzünden çiçeklere uzanan bu gezintiyi iki bölümde ele almam gerekecek.

İnsanoğlu kendine gelip çevresindekileri anlamaya çalışınca her halde ilk gördüğü değişim ve düzensizlik oldu. Birdenbire karşısına çıkan vahşi hayvanlar kendini kovalıyordu; gökyüzü bir aydınlanıp bir kararıyordu; hava bir ısınıp bir soğuyordu; dallarda yiyecekler hamken olgunlaşıyor, sonra da çürüyüp dökülüyordu. İşte bu kargaşa içinde gökyüzü ve yıldızların düzeni dikkatini çekti. Yıldızlar kümeler oluşturup düzenli biçimde gökyüzünde ilerliyordu. Zamanla bu düzenin dünyadaki düzenle bir ilişkisi olduğunu anladı. Gece ve gündüzün, mevsimlerin bir düzeni vardı. En ünlü biçimde Aristoteles ardından Ptolemeaus tarafından bu düzen formüle edildi: Gökyüzü kristal küreler oluşturmuş dünyanın çevresinde dönüyordu!

Derken insanoğlu da doğanın düzeni yanında kendi düzeninin kurmaya başladı. Tarım için tarlalar oluşturmaya, ekinleri için su getirmeye çalıştı. Bu nedenle de tarlalarının şekillerini soyutladı ve yeryüzünü ölçmeye başladı: geo-metri yer ölçümü. Soyut şekiller, üçgenler, kareler, dikdörtgenler oluştukça bunların bazı kuralları olduğunu gözledi. Örneğin

dik üçgende “dik kenarlarının uzunluklarının karelerinin toplamının, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşit” olduğuna şaştı (Pisagor teoremi) [1]. Bu arada Pisagor teoreminin, Pisagor’u çok üzen bir yönü olduğuna da değinmeliyim: Dik kenarlarının uzunluğu çok güzel bir tamsayı “1” olan dik üçgenin hipotenüsü Ö2 (1,414231 ….) gibi sonsuz uzanan bir sayıdır. Rasonel olmayan sayıları hiç sevmeyen Pisagor öğrencilerine 1, 1,  Ö2 üçgenini bir sır olarak saklamalarını söyler.

Sayılara kutsal bir önem veren Pisagor 3, 4 ve 5 tamsayılarının 3²+4²=5² özelliğine hayran oldu. Böylece bu güzel ilişkiye sahip 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10 … gibi üçlü tamsayılar “Pisagor üçlüleri” olarak tanımlandı. Pisagor üçlülerini inceleyen matematikçilerin aklına bir soru gelir: Acaba a³+b³=c³ veya daha genel olarak aⁿ+bⁿ=cⁿ ilişkisini sağlayan 2’den büyük n’ler var mı? Bu problem Fermat’nın son problemi olarak bilinen problemdir.  Ünlü matematikçi Pierre de Fermat (1601-1665) bu soruyu ele alan 3. yüzyılda yazılmış Diopantus’un Arithmetica’sını okurken kitabın kenarına bir not düşer: “Böyle tam sayılar bulanamayacağının çok güzel bir kanıtını buldum. Ama bu sayfa kenarında bunu yazacak yeterli yer yok” [2] Fermat’nın bıraktığı kitap ve belgelerde bu kanıt bulunamadı. Fermat’ın bu problemini çözüp çözmediğini, gerçekten doğru ve güzel bir çözüm bulup bulamadığını bilmiyoruz. Ama bu problem matematikçileri yüzlerce yıl uğraştırdı ve hiç de kolay anlaşılabilir biçimde değilse de 358 yıl sonra kanıtlandı[3]. Üstelik bu büyük deha “amatör” bir matematikçiydi. Buluşlarını ciddi makale ve kitaplarla belgelemezdi. Küçük notlar yazar, buluşlarını arkadaşlarına yazdığı mektuplarda anlatırdı. Günümüzde analitik geometrinin kurucusu olarak Descartes, diferansiyel matematiğin kurucusu olarak Newton’u biliyoruz. Fermat’nın yaptıklarını tam olarak bilseydik belki de bu görüşlerimiz değişirdi.

Yalnızca dik açılı bir üçgen değil herhangi bir üçgende de ilginç kurallar gizli. Örneğin bir üçgenin iç açılarını ortalayan ve karşı kenara uzanan doğrular (açıortaylar) çizelim. Bu üç açıortayın aynı noktada kesiştiğini görürüz. Benzer biçimde üçgenin kenarlarını ortalayan noktaları karşıdaki köşelerle birleştirelim (kenarortay) Bu üç kenarortay da bir noktada kesişecektir. Şimdi de köşelerden karşıki kenarlara dikmeler indirelim bu çizgiler de bir noktada. Hatta kenarların orta noktaları ve dikmelerin kenarlarla buluştuğu noktalar aynı daire üzerinde yer alacaktır.

Bir başka geometrik şekil, daire de bir dizi kuralı barındırıyor. Her şey bir yana çevrenin çapa oranı, Pisagor’a inat, bir diğer irrasyonel sayıyı, p’yi, (3,14159…) veriyor. Burada Tevrat’tan bir alıntı yapalım:

… Kral Süleyman Sur’dan dul kadının oğlu tunç ustası Hiram’ı getirir, Boaz ve Yakin direklerini yapar. Üzerlerine nar ve zambak motifleri işler…

“Ve dökme denizi bir kenardan öbür kenara 10 arşın olarak değirmi biçimde yaptı; ve yüksekliği 5 arşındı; ve 30 arşınlık bir ip onun çevresini sarardı.”

[11-1Krallar, Bap 7, Ayet 23 ].

Demek ki p=3imiş!

Aristoteles’in yeryüzü çevresinde dönen gökyüzü küreleri çok iyi bir açıklamaydı. Ama gözlemler arttıkça düzenin kaynağı olan gökyüzünde bazı düzensizlikler gözlenmeye başlandı. En önemli gök cismi, güneş ve -sonradan gezegen olarak adlandırılan- bazı parlak gök cisimleri bu düzene tam olarak uymuyordu! Doğuş-batış yerleri, zamanları, gökyüzünde çizdikleri yol ve kalış süreleri değişiyordu. Hatta gezegenler bazen ters yönde bile ilerliyordu. Güneş yeryüzünün çevresinde düzgün bir daire çizseydi mevsimlerin eşit uzunlukta, gündönümü tarihlerinin eşit aralıkta olması gerekirdi.

Gezegenlerin yeryüzü çevresindeki daire üzerine bindirilmiş küçük daireler üzerinde yol aldıkları düşünülmeye başlandı. Ayrıca dünya güneşin çizdiği dairenin merkezinde değilse mevsimlerin uzunlukları farklı olabilirdi. Binyıllar boyu evrenin merkezinde olmadığımızı bir türlü kabul etmedik. Zaten kutsal kitaplarımız da her şeyin bizim için yaratıldığını dünyanın da sabit olduğunu söylüyordu:

Eski Anlaşma [Mezmur 93:1]:

“Dünya sağlam kurulmuş ve sabit”

Kuşkusuz bütün bu karmaşık sorunlar, güneşi yeryüzünün ve diğer gezegenlerin çizdiği elipsin merkezine yerleştirince ortadan kalktı. Matematiksel olarak güzel ve kolay bir çözüm; ama insanlara evrenin merkezinde olmadıkları acı gerçeğini kabul ettirmek oldukça yıpratıcı oldu.

Soyutlama yeteneğinin yanında ölçmenin önemini hep vurgulamaya çalıştım. Hadi -sonu iyi de bitse- tarihin en büyük ölçme hatalarından birine değineyim: Kolomb’un serüveni. 15. Yüzyılda yeryüzünün küreselliği kabul edilse de boyutu konusunda anlaşmazlık vardı. Çap yüzyıllar önce büyük bir doğrulukla ölçülmüştü (Erastosthenes, MÖ. 240). Ama karşıt görüşler de vardı. Denizciliğin gelişimi ile Atlas Okyanusunda ilerleyen gemiciler enlemi ölçebiliyor ama boylam ölçümünde zorlanıyorlardı. 

Enlemin belirlenmesi kolaydı. Örneğin gölgenin en kısa olduğu noktada güneşin ufukla yaptığı açı enlemi ölçmek için kullanılabiliyordu. Yani konu bir açı ölçümüne dönüşüyordu. Oysa boylamı ölçmek çok daha zordu. Dünya kendi ekseni çevresinde döndüğüne göre, zaman ölçme sorunu ortaya çıkıyordu. Dalgalar üzerinde sallanan bir gemide sarkaçlı saatler çalışmıyor; haftalar süren deniz yolculuklarında zaman ölçmede biriken hata inanılmaz boyutlara çıkıyordu. Bu sorunun boyutunu anlamak için Kristof Kolomb’un yolculuğuna bakabiliriz. Amerika kıtasını bilmediği gibi yeryüzünün çevresini çok daha küçük bekliyordu (40 000 km yerine 30 200 km)[4]. 

Ama benim vurgulamak istediğim kayıtlara göre boylam ölçümünde 2,5 saate varan bir hata yaptığı. Bu hatanın Afyon ile Londra arasındaki boylam farkı kadar olduğunu belirteyim. Yeterli doğrulukta bir saat yapımı için 1759’a, John Harrison saatine kadar bekleyeceğiz. Görüyoruz ki geometri enlem sorununu çözdü; ama boylam konusundaki teknolojik ölçme sorunu ancak yüzlerce yıl sonra çözülebildi.

Burada bir parantez açıp büyük bir yaramıza değinmek istiyorum. Avrupa bilimi Kopernik’ten Newton’a yaklaşık 150 yıl içinde dünya ve diğer gezegenlerin oluşturduğu bilmeceyi çözdü ve 18. Yüzyıla bu bilinçle girdi. Bu çözümün sancısız olduğunu söylemiyorum. Engizisyon baskısı Bruno’nun yakılması veya Galileo’nun mahkûm edilmesi çok derin izler bıraktı kuşkusuz. Ama yine de süreç tamamlandı.

Ne yazık ki İslam coğrafyasında bunun gerçekleşmediğini görüyoruz. 12. Yüzyılda Fahrettin Razi “Geometri öğrenmek farzdır” diyor; 9. Yüzyılda El-Harezmî, 14. Yüzyılda İbn-i Haldun matematik üzerine önemli yapıtlar veriyor; 15. Yüzyılda Uluğ Bey Semerkant Gözlemevinde gökyüzünü gözlüyor. Ama 15. Yüzyılın sonundan başlayarak bütün İslam âleminin –ve onun önderi olan Osmanlı’nın- giderek karanlığa gömüldüğünü izliyoruz. Taküyiddin’in gözlemevi bir yıl içinde yıkılıyor. 17. Yüzyılda İmam-ı Ahmed Rabbani “Geometrinin ne dünya saadetine ne ebedî kurtuluşa faydası yoktur” diyor. Genellikle günümüz mühendislik eğitimimizin temellerini 18. Yüzyıl sonlarındaki Mühendishane-i Berri Hümayun, Mühendishane-i Bahri Hümayun gibi Osmanlı okullarına dayandırırız. 1824’te Mühendishane-i Bahri Hümayun başhocası Seyyid Ali Paşa “…güneş dünya çevresinde döner” diyordu. Kopernik’in haklı olduğunu yazan ilk Osmanlı sanırım 1848’de Bakü’lü Kudsî. Her halde okullara okutulmak üzere Batlamyus’u basan son devlet Osmanlı (1901).

Neyse bu konuya bir başka yazıda dönmek üzere üzücü parantezi kapatıp güzellikler dünyasına geri dönelim. Bir doğruyu bir küçük ve bir büyük parça olmak üzere ikiye bölelim. Öyle ki büyük parçanın uzunluğunun küçük parçanın uzunluğunun oranı, bütün doğrunun uzunluğunun büyük parçanın uzunluğuna oranına eşit olsun:

“Altın oran” olarak bilinen yine rasyonel olmayan bir irrasyonel sayı olan bu oran (1,61803…) “j” harfi ile gösterilir. Bu simgenin de kaynağı Atina’da Partenon’un mimarı “Fidias - jειδίας”. Bütün görsel sanatlar tarihi bu oranın uygulamalarıyla dolu. Leonardo’dan Salvador Dali’ye binlerce örnek verilebilir.

Leonardo ünlü Vitruvius [6] adamını çizerken doğadaki güzel oranları bulmaya çalışıyordu. 

Yalnızca bedenin çeşitli oranlarını değil kare ile daire arasındaki ilişkiyi de inceliyordu: 

Çünkü kare ile daire arasındaki ilişki Panthenon gibi mabetlerde kubbe ile taban arasındaki ilişkiye yansımalıydı. Leonardo’nun çağdaşı Palladio’nun Venedik’teki kilisesinde bu “güze oran” arayışını görüyoruz.

Geometrinin mimaride yalnızca güzel oranlar oluşturduğunu sanmayalım. Birçok mimari stilin de kaynağını geometride buluyoruz. Örneğin 6 - 10. Yüzyıl dönemindeki Romanesk mimari örneklerinde yarım daire biçimli pervazlar (casing), üzerindeki ağırlığın büyük kısmını yan duvara aktarıyordu. Bu da duvarları kalın ve az pencereli; iç mekânları karanlık yapıyordu.

Oysa pervazlar biraz sivriltilip tonoz tipi yapılınca ağırlığın büyük kısmı aşağıya doğru iletildi. Hatta payandalarla da ince duvarları, büyük pencereleri desteklendi. Böylece 11 - 12. Yüzyıllarda yüksek, büyük, aydınlık, pencereleri vitraylı Gotik katedraller çağı başladı.

Geometrinin bu ilginç öyküsünü GEOMETRI II'de sürdüreceğim.

........................................................

[1] Aslında dik üçgenin bu özelliğini Pisagor’dan (MÖ. 570-495) çok önce Çinliler, Mısırlılar, Babilliler, Hintliler biliyordu. Babil için Plinton tableti (M.Ö. 1800-1650); Çin metni Zhou bi suan jing (M.Ö. 100), Hint Baudhayana Sulbasutrası (M.Ö. 800) [Bilim ve Gelecek Dergisi, Eylül 2006]

[2 ]“Cujjus rel demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marjinis exquitas nın caparet.”

[3] Andrew Wiles ve Richard Taylor’un iki makalesi “Annals of Mathematics”, Mayıs 1995.

[4[ Amerika kıtası olmasaydı belki de Kristof  Kolomb okyanusta kaybolan bir denizci olarak unutulup gidecekti!

[5] Kolomb’un daha iyi ölçmeler yaptığını: ama rakiplerine bilgi vermemek için gemi kayıtlarına yanlış şeyler yazdığını savunanlar da var. Ama yadsınamaz gerçek ölünceye kadar yeni bir kıta bulduğunu anlayamadığı.

[6] 2. Yüzyıl da yaşamış oranlar konusunda tutkulu Romalı yazar, mimar, mühendis Marcus Vitruvius Pollio.